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Une quadrature approchée du cercle

De nombreux mathématiciens ont proposé des constructions approchées du carré de coté $\sqrt{\pi}$ .

Citons quelques approximations irrationnelles de π :

$\sqrt{4+\left(3+\frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2}$ (Koshansky, 1865)
$\frac12\,\left(2+\frac35 \right)\,\sqrt{1+\left( 2+\frac15\right)^2}$ (D. Specht, 1836)
$\frac65\, \left( 1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$ (Dixon, 1991)

Au passage, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ , facile à construire, fournit $\pi$ avec une erreur relative de 0,15%. Un bon exercice pour introduire le sujet.

La fameuse approximation rationnelle $\pi\approx \frac{355}{113}$ peut aussi servir à la quadrature approchée du cercle.

Rappelons une petite nuance existant entre deux notions assez proches :

La quadrature du cercle consiste à construire un carré d’aire égale à celle du disque de rayon unité
La rectification du cercle consiste à construire un segment de longueur égale à la circonférence du cercle de rayon 1

Comme on peut construire facilement $\sqrt{\alpha}}$ si $\alpha$ est constructible et inversement, les problèmes de la quadrature et de la rectification sont équivalents.

Une construction, fournissant un segment de longueur $\sqrt{\frac{355}{133}}$ aurait été proposée par Ramanujan en 1913. Cette construction est reprise par Jean-Claude Carrega dans « Théorie des Corps » (Ed. Hermann) et aboutit à la figure ci-dessous.

La description de la construction ainsi que les justifications se trouvent dans le fichier pdf joint. Le fichier source TeX permettra aux amateurs de figures pgf-tikz d’examiner les différentes étapes de la construction.

On consultera également :

Circle squaring sur l’encyclopédie d’Eric Weinstein,

La quadrature du cercle sur Wikipédia